Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
E. Micelli - Aa 2009.10
Elementi di matematica finanziaria
09.XI.2009Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
E. Micelli - Aa 2009.10
La matematica finanziaria e l’estimo
• Nell’ambito di numerosi procedimenti di stima si re
nde
necessario operare con valori che presentano scaden
ze
temporali differenziate
• Ciò rende impossibile una loro trattazione con le
tradizionali regole algebriche e impone l’impiego di
strumenti che consentano di operare con valori
diversamente posizionati temporalmente
• La ricchezza degli strumenti della matematica finan
ziaria
non può certamente essere riassunta in una lezione:
in
questa sede l’obiettivo è di concentrare l’attenzion
e su
alcuni strumenti che consentono alcune importanti
operazioni di stimaValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
E. Micelli - Aa 2009.10
Interesse, montante,
montante unitario
•
L’interesse
è il prezzo d’uso del capitale
–
il tasso può essere espresso in termini
unitari (ad es. 0,01) oppure in termini
percentuali (1%)
•
La somma del capitale e dei relativi interessi è
definita
montante
•
Il
montante unitario
(
q
) è la somma del
capitale unitario (riferito ad una euro) e degli
interessi maturati in un anno
–
se il tasso di interesse è 0,01,
q
è 1,01Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse semplice,
interesse composto
•
L’interesse può essere
–
semplice
, quando gli interessi maturati
non
maturano
a loro volta altri interessi
–
composto
, nel caso contrario
•
L’interesse semplice è impiegato per periodi
inferiori o uguali all’annoValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse semplice
•
In regime di interesse semplice,
l’interesse
e
il
montante
sono rispettivamente dati da:
–
dove n è la frazione dell’anno considerata
•
E quindi la stima di
C
, noto
M
, sarà eguale a:
I
=
C r
n
M
=
C
+
C r
n
=
C (
1
+
r
n
)
( ) 1
r
n
M
C
+
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse composto
• Dopo un anno, una somma investita genera
• Dopo due anni:
• Dopo
n
anni
• Il valore anticipato di C è uguale a
Formula eguale al caso
dell’interesse semplice!
M
=
C (
1
+
r
)
[
(
)
]
(
)
(
)
2
M
=
C 1
+
r
1
+
r
=
C 1
+
r
(
)
n
M
=
C 1
+
r
( )
n
1
r
M
C
+
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Capitali nel tempo
•
Se le prestazioni finanziarie hanno, a parità di
ammontare, un valore diverso in funzione della
loro scadenza,
non potrò sommare valori
differiti nel tempo
•
Per effettuare delle operazioni algebriche dovrà
quindi riportare
tutti i valori allo stesso
momento
•
Gli strumenti sono rappresentati dai
coefficienti di anticipazione e
posticipazione
, che variano in funzione della
durata del periodo consideratoValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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I coefficienti di anticipazione
e di posticipazione
• Periodi inferiori all’anno
• Coefficiente di posticipazione
• Coefficiente di anticipazione
• Periodi superiori all’anno
• Coefficiente di posticipazione
• Coefficiente di anticipazione
1
+
r
n
1
r
n
1
+
n
q
n
q
1Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Un milione al variare del
tempo e del tasso di interesse
Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni
1% 990.099 980.296 970.590 905.287 819.544
2% 980.392 961.169 942.322 820.348 672.971
3% 970.874 942.596 915.142 744.094 553.676
4% 961.538 924.556 888.996 675.564 456.387
5% 952.381 907.029 863.838 613.913 376.889
6% 943.396 889.996 839.619 558.395 311.805
7% 934.579 873.439 816.298 508.349 258.419
8% 925.926 857.339 793.832 463.193 214.548
9% 917.431 841.680 772.183 422.411 178.431
10% 909.091 826.446 751.315 385.543 148.644
All’aumentare del
tempo
,
diminuisce
il valore
Al crescere
del
saggio,
il valore
diminuisceValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Valore e tasso di interesse
Valore attuale di 1 milione tra vent'anni
-
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
900.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20 anni
Saggio di attualizzazioneValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità
• Con il simbolo a
vengono indicate le
annualità, ovvero quelle
prestazioni finanziarie
che si verifica ad
intervalli annuali
• Nel caso delle annualità,
oltre all’ammontare e
alla scadenza, bisogna
conoscere anche il dato
relativo alla loro durata
• Esse possono essere:
• posticipate o anticipate,
in base alla scadenza
rispettivamente
all’inizio o alla fine
dell’anno
• costanti o variabili, in
funzione del loro
ammontare
• limitate o illimitate, in
base alla durata delle
prestazioniValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità costanti,
posticipate, limitate
• Il caso delle annualità posticipate limitate si pres
enta
nel caso in cui, ad esempio, si ponga in locazione
un
immobile destinato ad un impiego temporalmente
definito
• E’ possibile procedere al calcolo del valore delle
annualità sia considerando il momento della stima, s
ia
considerando il momento in cui si ipotizza la fine
dello
sfruttamento economico del bene
• Nel primo caso parleremo di
accumulazione iniziale
delle annualità, nel secondo di
accumulazione finaleValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Accumulazione iniziale e finale
• Le formule per il calcolo dell’accumulazione inzial
e
Ai
e
finale
Af
sono riportate di seguito
(
)
n
n
r
q
a
q
1
Ai
−
=
(
)
r
a
q
1
Af
n
−
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La rappresentazione grafica
dell’accumulazione finale
Nell’accumulazione
finale le annualità
posticipate sono
portate alla scadenza n.
Si noti che siamo in
regime di interesse
composto.Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La rappresentazione grafica
dell’accumulazione iniziale
Nell’accumulazione
iniziale le annualità
posticipate sono
attualizzate al
momento della stimaValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità costanti,
posticipate, illimitate
• Il caso delle
annualità
posticipate illimitate
si presenta nel caso in
cui si consideri un
immobile di durata
illimitata: è l’ipotesi
della
stima per
capitalizzazione
• L’accumulazione
iniziale
è calcolata
come segue:
(
)
n
n
n
r
q
a
q
1
lim
Ai
−
→∞
=
r
a
Ai
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La quota di reintegrazione
• La quota di
reintegrazione è
quell’
annualità
costante
e
posticipata
che viene accumulata per
un certo numero di anni
allo scopo di costituire un
capitale di entità
predeterminata
q
1
C r
Q
n
−
=
• Il calcolo della quota deriva
dal calcolo di Af:
–
C
è l’accumulazione finale
Af
–
Q
è l’annualità
aValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse e valore di C
• Si noti che il
valore della quota
di reintegrazione
Q
è
funzione
–
della durata delle annualità
–
del valore di C
–
e del saggio di interesse
• In particolare, mantenendo costanti le altre variab
ili, la
quota aumenta all’aumentare del valore
dell’accumulazione finale
,
diminuisce all’aumentare
della durata
e
del saggio di interesseValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Un esempio
• Dobbiamo stimare la quota
da accantonare
annualmente per disporre
tra 5 anni di 100.000 euro
al saggio del 3%
• Il calcolo è il seguente:
• Se elevo l’
accumulazione
finale
a 200.000, la quota
aumenta a 37.670 euro
circa
• Se
aumento la durata
delle annualità
a 10 anni,
mantenendo l’obiettivo di
una accumulazione finale a
100.000, la quota scende a
8.723 euro
• Se
aumenta il tasso di
interesse
, sempre
nell’ipotesi di raggiungere
100.000 euro in 5 anni, la
quota scende a 18.097
euro
18.835
1,03
1
100.000
*
0,03
Q 5
≈
−
=
E. Micelli - Aa 2009.10
Elementi di matematica finanziaria
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E. Micelli - Aa 2009.10
La matematica finanziaria e l’estimo
• Nell’ambito di numerosi procedimenti di stima si re
nde
necessario operare con valori che presentano scaden
ze
temporali differenziate
• Ciò rende impossibile una loro trattazione con le
tradizionali regole algebriche e impone l’impiego di
strumenti che consentano di operare con valori
diversamente posizionati temporalmente
• La ricchezza degli strumenti della matematica finan
ziaria
non può certamente essere riassunta in una lezione:
in
questa sede l’obiettivo è di concentrare l’attenzion
e su
alcuni strumenti che consentono alcune importanti
operazioni di stimaValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse, montante,
montante unitario
•
L’interesse
è il prezzo d’uso del capitale
–
il tasso può essere espresso in termini
unitari (ad es. 0,01) oppure in termini
percentuali (1%)
•
La somma del capitale e dei relativi interessi è
definita
montante
•
Il
montante unitario
(
q
) è la somma del
capitale unitario (riferito ad una euro) e degli
interessi maturati in un anno
–
se il tasso di interesse è 0,01,
q
è 1,01Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse semplice,
interesse composto
•
L’interesse può essere
–
semplice
, quando gli interessi maturati
non
maturano
a loro volta altri interessi
–
composto
, nel caso contrario
•
L’interesse semplice è impiegato per periodi
inferiori o uguali all’annoValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse semplice
•
In regime di interesse semplice,
l’interesse
e
il
montante
sono rispettivamente dati da:
–
dove n è la frazione dell’anno considerata
•
E quindi la stima di
C
, noto
M
, sarà eguale a:
I
=
C r
n
M
=
C
+
C r
n
=
C (
1
+
r
n
)
( ) 1
r
n
M
C
+
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse composto
• Dopo un anno, una somma investita genera
• Dopo due anni:
• Dopo
n
anni
• Il valore anticipato di C è uguale a
Formula eguale al caso
dell’interesse semplice!
M
=
C (
1
+
r
)
[
(
)
]
(
)
(
)
2
M
=
C 1
+
r
1
+
r
=
C 1
+
r
(
)
n
M
=
C 1
+
r
( )
n
1
r
M
C
+
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Capitali nel tempo
•
Se le prestazioni finanziarie hanno, a parità di
ammontare, un valore diverso in funzione della
loro scadenza,
non potrò sommare valori
differiti nel tempo
•
Per effettuare delle operazioni algebriche dovrà
quindi riportare
tutti i valori allo stesso
momento
•
Gli strumenti sono rappresentati dai
coefficienti di anticipazione e
posticipazione
, che variano in funzione della
durata del periodo consideratoValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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I coefficienti di anticipazione
e di posticipazione
• Periodi inferiori all’anno
• Coefficiente di posticipazione
• Coefficiente di anticipazione
• Periodi superiori all’anno
• Coefficiente di posticipazione
• Coefficiente di anticipazione
1
+
r
n
1
r
n
1
+
n
q
n
q
1Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Un milione al variare del
tempo e del tasso di interesse
Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni
1% 990.099 980.296 970.590 905.287 819.544
2% 980.392 961.169 942.322 820.348 672.971
3% 970.874 942.596 915.142 744.094 553.676
4% 961.538 924.556 888.996 675.564 456.387
5% 952.381 907.029 863.838 613.913 376.889
6% 943.396 889.996 839.619 558.395 311.805
7% 934.579 873.439 816.298 508.349 258.419
8% 925.926 857.339 793.832 463.193 214.548
9% 917.431 841.680 772.183 422.411 178.431
10% 909.091 826.446 751.315 385.543 148.644
All’aumentare del
tempo
,
diminuisce
il valore
Al crescere
del
saggio,
il valore
diminuisceValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Valore e tasso di interesse
Valore attuale di 1 milione tra vent'anni
-
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
600.000
700.000
800.000
900.000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
20 anni
Saggio di attualizzazioneValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità
• Con il simbolo a
vengono indicate le
annualità, ovvero quelle
prestazioni finanziarie
che si verifica ad
intervalli annuali
• Nel caso delle annualità,
oltre all’ammontare e
alla scadenza, bisogna
conoscere anche il dato
relativo alla loro durata
• Esse possono essere:
• posticipate o anticipate,
in base alla scadenza
rispettivamente
all’inizio o alla fine
dell’anno
• costanti o variabili, in
funzione del loro
ammontare
• limitate o illimitate, in
base alla durata delle
prestazioniValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità costanti,
posticipate, limitate
• Il caso delle annualità posticipate limitate si pres
enta
nel caso in cui, ad esempio, si ponga in locazione
un
immobile destinato ad un impiego temporalmente
definito
• E’ possibile procedere al calcolo del valore delle
annualità sia considerando il momento della stima, s
ia
considerando il momento in cui si ipotizza la fine
dello
sfruttamento economico del bene
• Nel primo caso parleremo di
accumulazione iniziale
delle annualità, nel secondo di
accumulazione finaleValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Accumulazione iniziale e finale
• Le formule per il calcolo dell’accumulazione inzial
e
Ai
e
finale
Af
sono riportate di seguito
(
)
n
n
r
q
a
q
1
Ai
−
=
(
)
r
a
q
1
Af
n
−
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La rappresentazione grafica
dell’accumulazione finale
Nell’accumulazione
finale le annualità
posticipate sono
portate alla scadenza n.
Si noti che siamo in
regime di interesse
composto.Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La rappresentazione grafica
dell’accumulazione iniziale
Nell’accumulazione
iniziale le annualità
posticipate sono
attualizzate al
momento della stimaValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Annualità costanti,
posticipate, illimitate
• Il caso delle
annualità
posticipate illimitate
si presenta nel caso in
cui si consideri un
immobile di durata
illimitata: è l’ipotesi
della
stima per
capitalizzazione
• L’accumulazione
iniziale
è calcolata
come segue:
(
)
n
n
n
r
q
a
q
1
lim
Ai
−
→∞
=
r
a
Ai
=Valutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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La quota di reintegrazione
• La quota di
reintegrazione è
quell’
annualità
costante
e
posticipata
che viene accumulata per
un certo numero di anni
allo scopo di costituire un
capitale di entità
predeterminata
q
1
C r
Q
n
−
=
• Il calcolo della quota deriva
dal calcolo di Af:
–
C
è l’accumulazione finale
Af
–
Q
è l’annualità
aValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Interesse e valore di C
• Si noti che il
valore della quota
di reintegrazione
Q
è
funzione
–
della durata delle annualità
–
del valore di C
–
e del saggio di interesse
• In particolare, mantenendo costanti le altre variab
ili, la
quota aumenta all’aumentare del valore
dell’accumulazione finale
,
diminuisce all’aumentare
della durata
e
del saggio di interesseValutazione economica del progetto - Clasarch- Prof.
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Un esempio
• Dobbiamo stimare la quota
da accantonare
annualmente per disporre
tra 5 anni di 100.000 euro
al saggio del 3%
• Il calcolo è il seguente:
• Se elevo l’
accumulazione
finale
a 200.000, la quota
aumenta a 37.670 euro
circa
• Se
aumento la durata
delle annualità
a 10 anni,
mantenendo l’obiettivo di
una accumulazione finale a
100.000, la quota scende a
8.723 euro
• Se
aumenta il tasso di
interesse
, sempre
nell’ipotesi di raggiungere
100.000 euro in 5 anni, la
quota scende a 18.097
euro
18.835
1,03
1
100.000
*
0,03
Q 5
≈
−
=
